第五章計數(shù)原理課時練習(xí)題1、分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理............................................................ - 1 -2、基本計數(shù)原理的簡單應(yīng)用.................................................................................... - 5 -3、排列與排列數(shù)排列數(shù)公式.............................................................................. - 11 -4、組合組合數(shù)及其性質(zhì)...................................................................................... - 14 -5、二項式定理的推導(dǎo).............................................................................................. - 17 -6、二項式系數(shù)的性質(zhì).............................................................................................. - 20 -1、分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理一、選擇題1．某班有男生26人，女生24人，從中選一位擔(dān)任學(xué)習(xí)委員，不同的選法有()A．50種B．26種C．24種D．616種A[選一位學(xué)習(xí)委員分兩類辦法：第一類：選男生，有26種不同的選法；第二類：選女生，有24種不同的選法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有N＝26＋24＝50種不同的選法．]2．已知集合A?{1，2，3}，且A中至少有一個奇數(shù)，則這樣的集合有() A．2個B．3個C．4個D．5個D[當(dāng)集合A中含一個元素時，A＝{1}或{3}；當(dāng)集合A中含兩個元素時，A＝{1，2}或{1，3}或{2，3}，∴共有5個集合．]3．火車上有10名乘客，要在沿途的5個車站下車，則乘客下車的所有可能情況共有()A．510種B．105種C．50種D．以上都不對A[完成這件事可分為10步，即10名乘客全部下車，每名乘客選擇下車的不同方法均為5種，由分步乘法計數(shù)原理知，所有可能的情況為510種．] 4．三人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下．由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽子又被踢回甲，則不同的傳遞方式共有()A．4種B．5種C．6種D．12種C[若甲先傳給乙，則有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3種不同的傳法；同理，甲先傳給丙也有3種不同的傳法，故共有6種不同的傳法．]5．從0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字中，任取兩個不同的數(shù)字相加，其和為奇數(shù)的不同取法的種數(shù)為()A．25B．12C．9D．6C[兩個數(shù)字的和為奇數(shù)，這兩個數(shù)必須一個是奇數(shù)，另一個是偶數(shù)，在所給的6個數(shù)中，3個奇數(shù)與3個偶數(shù)．因此，由分步乘法計數(shù)原理得，共有3×3＝9種不同的取法．]二、填空題6．乘積(a＋b＋c)(m＋n)(x＋y)展開后，共有________項．12[∵乘積(a＋b＋c)(m＋n)(x＋y)的展開式中的每一項是由a＋b＋c中的一個字母與m＋n中的一個字母與x＋y中的一個字母的乘積組成．可分步完成此事．所以共有3×2×2＝12項．]7．從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選1人主持主題班會，則不同的選法種數(shù)為________．5[分兩類：一類是女同學(xué)主持主題班會有3種方法；一類是男同學(xué)主持主題班會有2種方法，由分類加法計數(shù)原理知，共有3＋2＝5(種)方法．] 8．設(shè)a，b，c∈{1，2，3，4，5，6}，若以a，b，c為三條邊的長可以構(gòu)成一個等腰(含等邊)三角形，則這樣的三角形有________個．27[先考慮等邊的情況，a＝b＝c＝1，2，…，6，有六個，再考慮等腰的情況，若a＝b＝1，c<a＋b＝2，此時c＝1與等邊重復(fù)，若a＝b＝2，c<a＋b＝4，則c＝1，3，有兩個，若a＝b＝3，c<a＋b＝6，則c＝1，2，4，5，有四個，若a＝b＝4，c<a＋b＝8，則c＝1，2，3，5，6，有五個，若a＝b＝5，c<a＋b＝10，則c＝1，2，3，4，6，有五個，若a＝b＝6，c<a＋b＝12，則c＝1，2，3，4，5，有五個，故一共有27個．]三、解答題9．若直線方程Ax＋By＝0中的A，B可以從0，1，2，3，5這五個數(shù)字中任取兩個不同的數(shù)字，則方程所表示的不同直線共有多少條？[解]分兩類完成：第1類：當(dāng)A或B中有一個為0時，表示的直線為x＝0或y＝0，共2條；第2類：當(dāng)A，B都不為0時，確定直線Ax＋By＝0需分兩步完成：第1步：確定A的值，有4種不同的方法，第2步：確定B的值，有3種不同的方法，由分步乘法計數(shù)原理，共可確定4×3＝12條直線．由分類加法計數(shù)原理，方程所表示的不同直線共有2＋12＝14條．10．已知橢圓x2m2＋y2n2＝1，其中m，n∈{1，2，3，4，5}．(1)求滿足條件的橢圓的個數(shù)；(2)如果橢圓的焦點在x軸上，求橢圓的個數(shù)．[解](1)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知m≠n，要確定一個橢圓，只要把m，n一一確定下來這個橢圓就確定了．故要確定一個橢圓共分兩步，第一步確定m，有5種方法，第二步確定n，有4種方法，共有5×4＝20個橢圓．(2)要使焦點在x軸上，必須m>n，故可以分類：m＝2，3，4，5時，n的取值列表為：m 2345n 11，21，2，31，2，3，4故共有1＋2＋3＋4＝10個橢圓．11．如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G 處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A．24B．18C．12D．9B[分兩步，第一步，從E→F，有6條可以選擇的最短路徑；第二步，從F→G，有3條可以選擇的最短路徑．由分步乘法計數(shù)原理可知有6×3＝18條可以選擇的最短路徑．故選B．]12．如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是()A．48B．18C．24D．36D[在正方體中，每一個表面有四條棱與之垂直，六個表面，共構(gòu)成24個“正交線面對”；而正方體的六個對角面中，每個對角面有兩條面對角線與之垂直，共構(gòu)成12個“正交線面對”，所以共有36個“正交線面對”．]13．從集合{1，2，3，4，…，10}中，選出5個數(shù)組成子集，使得這5個數(shù)中任意兩個數(shù)的和都不等于11，則這樣的子集有()A．32個B．34個C．36個D．38個A[將和等于11的放在一組：1和10，2和9，3和8，4和7，5和6．從每一小組中取一個，有2種，共有2×2×2×2×2＝32(個)．]14．(一題兩空)已知a，b∈{0，1，2，3}，則方程(x－a)2＋(y－b)2＝4可表示不同的圓的個數(shù)為________，其中與y軸相交的圓的個數(shù)為________．1612[得到圓的方程分兩步：第一步：確定a有4種選法；第二步：確定b有4種選法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有4×4＝16(個)．由與y軸相交知，a＝0或1或2，b有4種選法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有3×4＝12(個)．]15．我國古代數(shù)學(xué)名著《續(xù)古摘奇算法》(楊輝)一書中有關(guān)于三階幻方的問題：如圖所示，將1，2，3，4，5，6，7，8，9分別填入3×3的方格中，使得每一行、每一列及對角線上的三個數(shù)的和都相等，我們規(guī)定：只要兩個幻方的對應(yīng)位置(如每行第一列的方格)中的數(shù)字不全相同，就稱為不同的幻方，那么所有不同的三階幻方的個數(shù)是()834159672 A．9B．8C．6D．4B[因為所有數(shù)的和為9×(1＋9)2＝45，453＝15，所以每一行、每一列以及對角線上的三個數(shù)的和都是15，采用列舉法：492，357，816；276，951，438；294，753，618；438，951，276；816，357，492；618，753，294；672，159，834；834，159，672，共8個幻方，故選B．]2、基本計數(shù)原理的簡單應(yīng)用一、選擇題1．從0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字中，任取兩個不同的數(shù)字相加，其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)為()A．30B．20C．10D．6D[從0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字中任取兩個不同的數(shù)字的和為偶數(shù)可分為兩類：第一類，取出的兩個數(shù)都是偶數(shù)，有0和2，0和4，2和4，共3種不同的取法；第二類，取出的兩個數(shù)都是奇數(shù)，有1和3，1和5，3和5，共3種不同的取法．由分類加法計數(shù)原理得，共有3＋3＝6種不同的取法．]2．如圖所示的幾何體由三棱錐P-ABC與三棱柱ABC-A1B1C1組合而成，現(xiàn)用3種不同顏色對這個幾何體的表面涂色(底面A1B1C1不涂色)，要求相鄰的面均不同色，則不同的涂色方案共有()A．6種B．9種C．12種D．36種C[先涂三棱錐P-ABC的三個側(cè)面，有3×2×1種情況，然后涂三棱柱的三個側(cè)面，有2×1×1種情況，由分步乘法計數(shù)原理，共有3×2×1×2×1×1＝12種不同的涂法．故選C．]3．在某種信息傳輸過程中，用4個數(shù)字的一個排列(數(shù)字允許重復(fù))表示一個信息，不同排列表示不同信息．若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為()A．10 B．11C．12 D．15B[分0個相同、1個相同、2個相同討論．(1)若0個相同，則信息為：1001．共1個．(2)若1個相同，則信息為：0001，1101，1011，1000．共4個．(3)若2個相同，又分為以下情況：①若位置一與二相同，則信息為：0101；②若位置一與三相同，則信息為：0011；③若位置一與四相同，則信息為：0000；④若位置二與三相同，則信息為：1111；⑤若位置二與四相同，則信息為：1100；⑥若位置三與四相同，則信息為：1010．共有6個．故與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為1＋4＋6＝11．]4．如圖所示的五個區(qū)域中，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為()A．24B．48C．72D．96C[分兩種情況：①A，C不同色，先涂A有4種，C有3種，E有2種，B，D各有1種，各有4×3×2＝24種涂法．②A，C同色，先涂A有4種，E有3種，C有1種，B，D各有2種，有4×3×2×2＝48種涂法．故共有24＋48＝72種涂色方法．故選C．] 5．若m，n均為非負(fù)整數(shù)，在做m＋n的加法運算時各位均不進(jìn)位(例如：2 019＋100＝2 119)，則稱(m，n)為“簡單的”有序?qū)Γ鴐＋n稱為有序?qū)?m，n)的值，那么值為2 019的“簡單的”有序?qū)Φ膫€數(shù)是()A．100B．96C．60D．30C[m＋n＝2 019且各位均不進(jìn)位，從高位分步處理：千位有2＋0，1＋1，0＋2，共3種；百位有0＋0，共1種；十位有0＋1，1＋0，共2種；個位有0＋9，1＋8，2＋7，3＋6，4＋5，5＋4，6＋3，7＋2，8＋1，9＋0，共10種，由分步乘法計數(shù)原理可知，值為2 019的“簡單的”有序?qū)Φ膫€數(shù)是3×1×2×10＝60．故選C．]二、填空題6．我們把中間數(shù)位上的數(shù)字最大，而兩邊依次減小的多位數(shù)稱為“凸數(shù)”，如132，341等，那么由1，2，3，4，5可以組成無重復(fù)數(shù)字的三位“凸數(shù)”的個數(shù)是________．20[根據(jù)“凸數(shù)”的特點，中間的數(shù)字只能是3，4，5，故分三類，第一類，當(dāng)中間數(shù)字為“3”時，此時有2個(132，231)；第二類，當(dāng)中間數(shù)字為“4”時，則百位數(shù)字有兩種選擇，個位數(shù)字有三種選擇，則“凸數(shù)”有2×3＝6個；第三類，當(dāng)中間數(shù)字為“5”時，則百位數(shù)字有三個選擇，個位數(shù)字有四個選擇，則“凸數(shù)”有4×3＝12個；根據(jù)分類加法計數(shù)原理，得到由1，2，3，4，5可以組成無重復(fù)數(shù)字的三位“凸數(shù)”的個數(shù)是2＋6＋12＝20．]7．某電商為某次活動設(shè)計了“和諧”“愛國”“敬業(yè)”三種紅包，活動規(guī)定每人可以依次點擊4次，每次都會獲得三種紅包中的一種，若集全三種即可獲獎，但三種紅包出現(xiàn)的順序不同對應(yīng)的獎次也不同．員工甲按規(guī)定依次點擊了4次，直到第4次才獲獎．則他獲得獎次的不同情形種數(shù)為________．18[根據(jù)題意，若員工甲直到第4次才獲獎，則其第4次才集全“和諧”“愛國”“敬業(yè)”三種紅包，則甲第4次獲得的紅包有3種情況，前三次獲得的紅包為其余的2種，有23－2＝6種情況，則他獲得獎次的不同情形種數(shù)為3×6＝18．] 8．滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為________．13[當(dāng)a＝0時，b的值可以是－1，0，1，2，故(a，b)的個數(shù)為4；當(dāng)a≠0時，要使方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1．若a＝－1，則b的值可以是－1，0，1，2，(a，b)的個數(shù)為4；若a＝1，則b的值可以是－1，0，1，(a，b)的個數(shù)為3；若a＝2，則b的值可以是－1，0，(a，b)的個數(shù)為2．由分類加法計數(shù)原理可知，(a，b)的個數(shù)為4＋4＋3＋2＝13．]三、解答題9．(1)如圖①所示，有A，B，C，D四個區(qū)域，用紅、黃、藍(lán)三種顏色涂色，要求任意兩個相鄰區(qū)域的顏色各不相同，共有多少種不同的涂法？圖①圖②(2)如圖②所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩個端點異色，如果只有5種顏色可供使用，共有多少種不同染色方法？[解](1)①若A，C涂色相同，則按照分步乘法計數(shù)原理，A，B，C，D可涂顏色的種數(shù)依次是3，2，1，2，則有3×2×1×2＝12種不同的涂法．②若A，C涂色不相同，則按照分步乘法計數(shù)原理，A，B，C，D可涂顏色的種數(shù)依次是3，2，1，1，則有3×2×1×1＝6種不同的涂法．所以，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有12＋6＝18種不同的涂法．(2)按照S→A→B→C→D的順序進(jìn)行染色，按照A，C是否同色分類：第一類，A，C同色，則有5×4×3×1×3＝180種不同的染色方法．第二類，A，C不同色，則有5×4×3×2×2＝240種不同的染色方法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有180＋240＝420種不同的染色方法．10．用0，1，2，3，4，5可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的且比2 000大的四位偶數(shù)．[解]完成這件事有3類方法：第一類是用0做結(jié)尾的比2 000大的4位偶數(shù)，它可以分三步去完成：第一步，選取千位上的數(shù)字，只有2，3，4，5可以選擇，有4種選法；第二步，選取百位上的數(shù)字，除0和千位上已選定的數(shù)字以外，還有4個數(shù)字可供選擇，有4種選法；第三步，選取十位上的數(shù)字，還有3種選法．依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，這類數(shù)的個數(shù)有4×4×3＝48個；第二類是用2做結(jié)尾的比2 000大的4位偶數(shù)，它可以分三步去完成：第一步，選取千位上的數(shù)字，除去2，1，0，只有3個數(shù)字可以選擇，有3種選法；第二步，選取百位上的數(shù)字，在去掉已經(jīng)確定的首尾兩數(shù)字之后，還有4個數(shù)字可供選擇，有4種選法；第三步，選取十位上的數(shù)字，還有3種選法．依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，這類數(shù)的個數(shù)有3×4×3＝36個；第三類是用4做結(jié)尾的比2 000大的4位偶數(shù)，其個數(shù)同第二類．用分類加法計數(shù)原理，所求無重復(fù)數(shù)字的比2 000大的四位偶數(shù)有48＋36＋36＝120個．11．某班新年聯(lián)歡會原定的6個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了3個新節(jié)目，如果將這3個新節(jié)目插入節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為() A．504B．210C．336D．120A[分三步，先插一個新節(jié)目，有7種方法，再插第二個新節(jié)目，有8種方法，最后插第三個節(jié)目，有9種方法．故共有7×8×9＝504種不同的插法．]12．有4位教師在同一年級的4個班中各教一個班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)檢測時要求每位教師不能在本班監(jiān)考，則監(jiān)考的方法有()A．8種B．9種C．10種D．11種B[法一：設(shè)四位監(jiān)考教師分別為A、B、C、D，所教的班分別為a、b、c、d，假設(shè)A監(jiān)考b，則余下三人監(jiān)考剩下的三個班，共有3種不同方法，同理A監(jiān)考c、d時，也分別有3種不同方法，由分類加法計數(shù)原理共有3＋3＋3＝9種．法二：班級按a、b、c、d的順序依次排列，為避免重復(fù)或遺漏現(xiàn)象，教師的監(jiān)考順序可用“樹形圖”表示如下：∴共有9種不同的監(jiān)考方法．]13．(多選題)從0，1，2，3，4中選取四個數(shù)組成一個能被6整除的四位數(shù)，則()A．這個四位數(shù)個位上的數(shù)字為偶數(shù)，且各數(shù)位上的數(shù)字之和能被3整除B．個位上的數(shù)字為0的這樣的四位數(shù)有12個C．個位上的數(shù)字為2的這樣的四位數(shù)有8個D．個位上的數(shù)字為4的這樣的四位數(shù)有4個ABCD[A正確；當(dāng)個位上的數(shù)字為0時，其余三個數(shù)為1，2，3或2，3，4，所以這樣的四位數(shù)有3×2×1×2＝12個，故B正確；當(dāng)個位上的數(shù)字為2時，其余三個數(shù)為0，1，3或0，3，4，所以這樣的四位數(shù)有2×2×1×2＝8個，故C正確；當(dāng)個位上的數(shù)字為4時，其余三個數(shù)為0，2，3，所以這樣的四位數(shù)有2×2×1＝4個，故D正確．]14．4位同學(xué)參加某種形式的競賽，競賽規(guī)則規(guī)定：每位同學(xué)必須從甲、乙兩道題中任選一題作答，選甲題答對得100分，答錯得－100分；選乙題答對得90分，答錯得－90分．若4位同學(xué)的總分為0，則這4位同學(xué)不同得分情況的種數(shù)有________種．36[因為4個同學(xué)總分為0，所以可分為三類：都選甲且兩對兩錯共有6種；都選乙且兩對兩錯有6種；兩個選甲一對一錯，另兩個選乙也一對一錯，有6×2×2＝24種．由分類加法計數(shù)原理N＝6＋6＋24＝36種．]15．(一題兩空)回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如22，121，3 443，94 249等．顯然2位回文數(shù)有9個：11，22，33，…，99，3位回文數(shù)有90個：101，111，121，…，191，202，…，999．則(1)5位回文數(shù)有________個；(2)2n(n∈N＋)位回文數(shù)有________個．(1)900(2)9×10n－1[(1)5位回文數(shù)相當(dāng)于填5個方格，首尾相同，且不為0，共9種填法，第2位和第4位一樣，有10種填法，中間一位有10種填法，共有9×10×10＝900(種)填法，即5位回文數(shù)有900個．(2)根據(jù)回文數(shù)的定義，此問題也可以轉(zhuǎn)化成填方格．結(jié)合分步乘法計數(shù)原理，知有9×10n－1種填法．]§2排列問題3、排列與排列數(shù)排列數(shù)公式一、選擇題1．已知A2n＝132，則n等于()A．11B．12C．13D．14B[∵A2n＝n(n－1)＝132，∴n＝12或n＝－11(舍)，∴n＝12．]2．89×90×91×…×100可表示為()A．A10100B．A11100C．A12100D．A13100C[最大數(shù)為100，共有12個連續(xù)整數(shù)的乘積，由排列數(shù)公式的定義可以得出．]3．將五輛車停在5個車位上，其中A車不停在1號車位上，則不同的停車方案種數(shù)為()A．24B．78C．96D．120C[∵A車不停在1號車位上，∴可先將A車停在其他四個車位中的任何一個車位上，有4種可能，然后將另外四輛車在剩余的四個車位上進(jìn)行全排列，有A44種停法，由分步乘法計數(shù)原理，得共有4×A44＝4×24＝96種停車方案．] 4．已知A2n＋1－A2n＝10，則n的值為()A．4B．5C．6D．7B[A2n＋1－A2n＝n(n＋1)－n(n－1)＝10，2n＝10，n＝5．]5．不等式x A3x>3A2x的解集是()A．{x|x>3}B．{x|x>4，x∈N}C．{x|3<x<4，x∈Z}D．{x|x>3，x∈N＋}D[由題意得x[x×(x－1)×(x－2)]>3×[x×(x－1)]，∵x≥3且x∈N，∴x－1>0，∴x(x－2)>3，即x2－2x－3>0，解得x>3或x<＋－1(舍)，}．]∴原不等式的解集為{x|x>3，x∈N＋二、填空題6．從6個不同元素中取出2個元素的排列數(shù)為________．(用數(shù)字作答)30[A26＝6×5＝30．]7．從4個蔬菜品種中選出3個，分別種植在不同土質(zhì)的3塊土地上進(jìn)行試驗，則不同的種植方法有________種．(用數(shù)字作答)24[本題可理解為從4個不同元素(4個蔬菜品種)中任取3個元素的排列個數(shù)，即為A34＝24(種)．]8．集合p＝{x|x＝A m4，m∈N＋}，則p中元素的個數(shù)為________．3[由A m4，m∈N＋的意義可知，m＝1，2，3，4．當(dāng)m＝1時，A m4＝A14＝4；當(dāng)m＝2時，A m4＝A24＝12；當(dāng)m＝3時，A m4＝A34＝24；當(dāng)m＝4時，A m4＝A44＝24．由集合元素的互異性可知：p中元素共有3個．]三、解答題9．將3張電影票分給5人中的3人，每人1張，求共有多少種不同的分法．[解]問題相當(dāng)于從5張電影票中選出3張排列起來，這是一個排列問題．故共有A35＝5×4×3＝60種分法．10．有三張卡片，正面分別寫著1，2，3三個數(shù)字，反面分別寫著0，5，6三個數(shù)字，問這三張卡片可組成多少個三位數(shù)？[解]先排列三張卡片，有A33×2×2×2種排法，0排在首位的個數(shù)為A22×2×2，則這三張卡片可以組成A33×2×2×2－A22×2×2＝40個三位數(shù)．11．有5名同學(xué)被安排在周一至周五值日，已知同學(xué)甲只能在周一值日，那么5名同學(xué)值日順序的編排方案共有()A．12種B．24種C．48種D．120種B [∵同學(xué)甲只能在周一值日，∴除同學(xué)甲外的4名同學(xué)將在周二至周五值日，∴5名同學(xué)值日順序的編排方案共有A 44＝24(種)．]12．(多選題)下列等式中成立的是( )A ．A 3n ＝(n －2)A 2nB ．1n A n n ＋1＝A n －1n ＋1C ．n A n －2n －1＝A n nD ．n n －m A m n －1＝A m n ACD [A 中，右邊＝(n －2)(n －1)n ＝A 3n 成立；C 中，左邊＝n ×(n －1)×…×2＝n ×(n －1)×(n －2)×…×2×1＝A n n 成立；D 中，左邊＝n n －m ×(n －1)！(n －m －1)?。絥 ！(n －m )！＝A m n 成立；經(jīng)驗證只有B 不正確．] 13．(多選題)當(dāng)n ∈N ＋，且n ≥3時，A 3n 不可能取到( )A ．60B ．240C ．2 020D ．2 040BCD [A 35＝60；由于A 37<240<A 38，所以A 3n 不可能取到240；A 3n 一定是6的倍數(shù)，所以A 3n 不可能取到2 020；由于A 313＜2 040＜A 314，所以A 3n 不可能取到2 040．] 14．(一題兩空)由數(shù)字1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)是________，奇數(shù)的個數(shù)是________．48 72 [從2，4中取一個數(shù)作為個位數(shù)字，有2種取法，再從其余四個數(shù)中取出三個數(shù)排在前三位，有A 34種，由分步乘法計數(shù)原理知組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為2×A 34＝48， 又四位偶數(shù)的個數(shù)與四位奇數(shù)的個數(shù)之和為A 45，故四位奇數(shù)的個數(shù)為A 45－48＝72．]15．將A 、B 、C 、D 四名同學(xué)按一定順序排成一行，要求自左向右，且A 不排在第一，B 不排在第二，C 不排在第三，D 不排在第四．試寫出他們四人所有不同的排法．[解] 由于A 不排在第一，所以第一只能排B 、C 、D 中的一個，據(jù)此可分為三類．由此可寫出所有的排法為：BADC ，BCDA ，BDAC ，CADB ，CDAB ，CDBA ，DABC，DCAB，DCBA．4、組合組合數(shù)及其性質(zhì)一、選擇題1．若A3m＝6C4m，則m的值為()A．6B．7C．8D．9B[∵A3m＝C3m A33＝6C3m．∴6C3m＝6C4m，∴C3m＝C4m，∴m＝3＋4＝7．]2．若C7n＋1－C7n＝C8n，則n＝()A．12 B．13C．14D．15C[∵C7n＋1－C7n＝C8n，∴C7n＋1＝C7n＋C8n＝C8n＋1，∴n＋1＝7＋8，∴n＝14．] 3．集合{0，1，2，3}中含有3個元素的子集的個數(shù)是()A．4B．5C．7D．8A[由于集合中的元素是沒有順序的，一個含有3個元素的子集就是一個從{0，1，2，3}中取出3個元素的組合，這是一個組合問題，組合數(shù)是C34＝4．] 4．某城市縱向有6條道路，橫向有5條道路，構(gòu)成如圖所示的矩形道路網(wǎng)(圖中黑線表示道路)，則從西南角A地到東北角B地的最短路線共有()A．125條B．126條C．127條D．128條B[要使路線最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走．因此，從A 地到B地歸結(jié)為走完5條橫線段和4條縱線段．設(shè)每走一段橫線段或縱線段為一個行走時段，從9個行走時段中任取4個時段走縱線段，其余5個時段走橫線段，共有C49C55＝126種走法，故從A地到B地的最短路線共有126條．] 5．假設(shè)200件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)在從中任取5件，其中至少有2件次品的抽法種數(shù)為()A．C23C2198B．C23C3197＋C33C2197C ．C 3200－C 4197D ．C 5200－C 13C 4197B [分為兩類：第一類，取出的5件產(chǎn)品有2件次品3件合格品，有C 23C 3197種抽法；第二類，取出的5件產(chǎn)品有3件次品2件合格品，有C 33C 2197種抽法．因此共有(C 23C 3197＋C 33C 2197)種抽法．]二、填空題6．設(shè)A ＝{x |x ＝C n 4，n ∈N ＋}，B ＝{1，2，3，4}，則A ∩B ＝________．{1，4} [當(dāng)n ＝0時，C 04＝1；當(dāng)n ＝1時，C 14＝4；當(dāng)n ＝2時，C 24＝4×32×1＝6； 當(dāng)n ＝3時，C 34＝C 14＝4；當(dāng)n ＝4時，C 44＝C 04＝1， ∴A ＝{x |x ＝C n 4，n ∈N ＋}＝{1，4，6}．又∵B ＝{1，2，3，4}，∴A ∩B ＝{1，4}．]7．從2，3，5，7四個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)相乘，有m 個不同的積；任取兩個不同的數(shù)相除，有n 個不同的商，則m ∶n ＝________．12 [∵m ＝C 24，n ＝A 24，∴m ∶n ＝12．] 8．7名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加社區(qū)公益活動，若每天安排不同的3人，則不同的安排方案共有________種．(用數(shù)字作答)140 [可分步完成此事，第一步選周六的3人共有C 37種方法；第二步選周日的志愿者共有C 34種方法．由分步乘法計數(shù)原理可知：不同的安排方案共有C 37·C 34＝140(種)．]三、解答題9．已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求m 的值． [解] 由組合數(shù)公式化簡整理得m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或m ＝21，又0≤m ≤5，所以m ＝2．10．(1)設(shè)集合A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，則集合A 中含有3個元素的子集有多少個？(2)10位同學(xué)聚會，見面后每兩人之間要握手相互問候，共需握手多少次？[解] (1)從5個元素中取出3個元素并成一組，就是集合A 的子集，元素?zé)o序，則共有C 35＝10(個)．(2)每兩人握手一次就完成這一件事，則共有握手次數(shù)為C 210＝10×92×1＝45(次)．11．C 9798＋2C 9698＋C 9598＝( )A ．C 9799B ．C 97100 C ．C 9899D ．C 98100 B [C 9798＋2C 9698＋C 9598＝C 9798＋C 9698＋C 9698＋C 9598＝C 9799＋C 9699＝C 97100．]12．有兩條平行直線a 和b ，在直線a 上取4個點，在直線b 上取5個點，以這些點為頂點作三角形，這樣的三角形共有( )A ．70個B ．80個C ．82個D ．84個A [分兩類，第1類：從直線a 上任取一個點，從直線b 上任取兩個點，共有C 14C 25種方法；第2類：從直線a 上任取兩個點，從直線b 上任取一個點，共有C 24C 15種方法．故滿足條件的三角形共有C 14C 25＋C 24C 15＝70(個)．]13．(多選題)若C 4n ＞C 6n ，則n 的值可以是( )A ．6B ．7C ．8D ． 9ABCD [∵C 4n ＞C 6n ，∴???C 4n ＞C 6n ，n ≥6， ???? n ！4！(n －4)?。緉 ！6！(n －6)！，n ≥6，???? n 2－9n －10＜0，n ≥6，????－1＜n ＜10，n ≥6.∵n ∈N *，∴n ＝6，7，8，9．]14．(一題兩空)在同一個平面內(nèi)有一組平行線共8條，另一組平行線共10條，這兩組平行線相互不平行，它們共能構(gòu)成________個平行四邊形，共有________個交點．1260 80 [第一組中每兩條與另一組中的每兩條直線均能構(gòu)成一個平行四邊形，故共有C 28C 210＝1 260(個)．第一組中每條直線與另一組中每條直線均有一個交點，所以共有C 18C 110＝80(個)．]15．(1)求C 3n 13＋n ＋C 3n －112＋n ＋C 3n －211＋n ＋…＋C 17－n 2n 的值；(2)求滿足C 5n －1＋C 3n －3C 3n －3＝195的n 的值． [解] (1)由原式知，n 滿足3n ≤13＋n 且17－n ≤2n ，又∵n ∈N ＋，∴n ＝6．∴原式＝C 1819＋C 1718＋C 1617＋…＋C 1112＝C 119＋C 118＋C 117＋…＋C 112＝124．(2)原方程可變形為C 5n －1C 3n －3＋1＝195，C 5n －1＝145C 3n －3， ∴(n －1)(n －2)(n －3)(n －4)(n －5)5！＝145×(n －3)(n －4)(n －5)3?。?∴n 2－3n －54＝0．∴n ＝9或n ＝－6(舍去)，∴n ＝9為原方程的解．5、 二項式定理的推導(dǎo)一、選擇題1．(x ＋2)8的展開式中x 6的系數(shù)是( )A ．28B ．56C ．112D ．224C [該二項展開式的通項為T r ＋1＝C r 8x 8－r 2r ＝2r C r 8x8－r ，令r ＝2，得T 3＝22C 28x 6＝112x 6，所以x 6的系數(shù)是112．]2．若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 為有理數(shù))，則a ＋b 等于( )A ．45B ．55C ．70D ．80C [由二項式定理，得(1＋2)5＝1＋C 15·2＋C 25·(2)2＋C 35·(2)3＋C 45·(2)4＋C 55·(2)5 ＝1＋52＋20＋202＋20＋42＝41＋292．所以a ＝41，b ＝29，a ＋b ＝70．故選C ．]3．在? ????2x 2－1x 5的二項展開式中，x 的系數(shù)為( ) A ．10 B ．－10 C ．40 D ．－40D [∵T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r ? ????－1x r ＝(－1)r C r 525－r x 10－3r ，令10－3r ＝1即r ＝3，此時x 的系數(shù)為(－1)3C 3522＝－40．] 4．設(shè)k ＝1，2，3，4，5，則(x ＋2)5的展開式中x k 的系數(shù)不可能是( )A ．10B ．40C ．50D ．80C [x 1的系數(shù)為C 45·24＝80，x 2的系數(shù)為C 35·23＝80，x 3的系數(shù)為C 25·22＝40，x 4的系數(shù)為C 15·21＝10，x 5的系數(shù)為C 05·20＝1，所以系數(shù)不可能為50．] 5．(x ＋3x )12的展開式中，含x 的正整數(shù)次冪的項共有( )A ．4項B ．3項C ．2項D ．1項B [設(shè)第(r ＋1)項含x 的正整數(shù)次冪，則T r ＋1＝C r 12·? ????x 1212－r ·? ????x 13r ＝C r 12·x 6－16r ，其中0≤r ≤12．要使6－16r 為正整數(shù)，必須使r 為6的倍數(shù)．所以r ＝0，6，12，即第1項、第7項，第13項為符合條件的項．]二、填空題6．(a ＋x )4的展開式中x 3的系數(shù)等于8，則實數(shù)a ＝________．2 [∵T r ＋1＝C r 4a4－r x r 且x 3的系數(shù)等于8，∴r ＝3，即C 34a 4－3＝8，∴a ＝2．] 7．? ????x 2＋1x 6的展開式中x 3的系數(shù)為________．(用數(shù)字作答) 20 [設(shè)第r ＋1項為含x 3的項，則T r ＋1＝C r 6x 2(6－r )x －r ＝C r 6x 12－3r ， 令12－3r ＝3，得r ＝3，∴x 3的系數(shù)為C 36＝20．]8．在?????32x －1220的展開式中，系數(shù)是有理數(shù)的項共有________項． 4 [T r ＋1＝C r 20(32x )20－r ? ????－12r ＝? ????－22r ·(32)20－r ·C r 20·x 20－r ． ∵系數(shù)為有理數(shù)，∴(2)r 與220－r3均為有理數(shù)． ∴r 能被2整除，且20－r 能被3整除．∴r 為偶數(shù)，20－r 是3的倍數(shù)，0≤r ≤20，∴r ＝2，8，14，20．∴共有4項系數(shù)為有理數(shù)．]三、解答題9．求(1＋x )3＋(1＋x )4＋…＋(1＋x )20的展開式中x 3的系數(shù)．[解] 所求x 3的系數(shù)為：C 33＋C 34＋C 35＋…＋C 320＝(C 44＋C 34)＋C 35＋…＋C 320＝(C 45＋C 35)＋C 36＋…＋C 320＝…＝C 420＋C 320＝C 421．所以展開式中x 3的系數(shù)是C 421＝5 985．10．在?????2x －1x 6的展開式中，求： (1)第3項的二項式系數(shù)及系數(shù)；(2)含x 2的項．[解] (1)第3項的二項式系數(shù)為C 26＝15，又因為T 3＝C 26(2x )4?????－1x 2＝24·C 26x ， 所以第3項的系數(shù)為24C 26＝240．(2)T k ＋1＝C k 6(2x )6－k ?????－1x k ＝(－1)k 26－k C k 6x 3－k ， 令3－k ＝2，得k ＝1．所以含x 2的項為第2項，且T 2＝－192x 2．11．二項式(1＋x )6的展開式中有理項系數(shù)之和為( )A ．64B ．32C ．24D ．16B [二項式(1＋x )6的展開式的通項為T r ＋1＝C r 6x r 2，令r 2為整數(shù)，可得r ＝0，2，4，6，故展開式中有理項系數(shù)之和為C 06＋C 26＋C 46＋C 66＝32，故選B ．]12．已知(1＋ax )(1＋x )5的展開式中x 2的系數(shù)為5，則a ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1D[展開式中含x2的系數(shù)為C25＋a C15＝5，解得a＝－1，故選D．]13．(多選題)中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究．設(shè)a，b，m(m＞0)為整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對模m 同余，記為a＝b(mod m)．若a＝C020＋C120·2＋C220·22＋…＋C2020·220，a＝b(mod 10)，則b的值可以是()A．2 011B．2 012C．2 020D．2 021AD[∵a＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10＝C0101010－C110109＋…－C91010＋1，∴被10除得的余數(shù)為1，而2 011與2 021被10除得的余數(shù)是1，故選AD．] 14．(一題兩空)在二項式(2＋x)9的展開式中，常數(shù)項是________，系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是________．1625[由二項展開式的通項公式可知T r＋1＝C r9·(2)9－r·x r，r∈N，0≤r≤9，當(dāng)r＝0時，第1項為常數(shù)項，所以常數(shù)項為T1＝C09·(2)9·x0＝(2)9＝162．當(dāng)項的系數(shù)為有理數(shù)時，9－r為偶數(shù)，可得r＝1，3，5，7，9，即系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)為5．]15．(3－2x－x4)(2x－1)6的展開式中，含x3項的系數(shù)為()A．600B．360C．－600D．－360C[由二項展開式的通項可知，展開式中含x3項的系數(shù)為3×C3623(－1)3－2×C4622(－1)4＝－600．故選C．]6、二項式系數(shù)的性質(zhì)一、選擇題1．若(x＋3y)n展開式的系數(shù)和等于(7a＋b)10展開式中的二項式系數(shù)之和，則n 的值為()A．5B．8C．10D．15A[(7a＋b)10展開式的二項式系數(shù)之和為210，令x＝1，y＝1，則由題意知，4n＝210，解得n＝5．]2．若? ????x ＋1x n展開式的二項式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項為( )A ．10B ．20C ．30D ．120 B [由2n ＝64，得n ＝6，∴T r ＋1＝C r 6x 6－r ? ????1x r＝C r 6x 6－2r(0≤r ≤6，r ∈N )． 由6－2r ＝0，得r ＝3． ∴T 4＝C 36＝20．]3．(x －1)11展開式中x 的偶次項系數(shù)之和是( ) A ．－2 048 B ．－1 023 C ．－1 024D ．1 024C [(x －1)11＝C 011x 11＋C 111x 10(－1)1＋C 211x 9(－1)2＋…＋(－1)11，偶次項系數(shù)為負(fù)數(shù)，其和為－210＝－1 024．]4．設(shè)(3－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若n ＝4，則a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ＝( )A ．256B ．136C ．120D ．16A [令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2＋…＋(－1)n a n ＝(3－(－1))4＝44＝256．]5．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝729，則C 1n ＋C 3n ＋C 5n 的值等于( )A ．64B ．32C ．63D ．31 B [由已知(1＋2)n＝3n＝729，解得n ＝6．則C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＝C 16＋C 36＋C 56＝262＝32．]二、填空題6．若? ????x 2＋1x 3n展開式的各項系數(shù)之和為32，則其展開式中的常數(shù)項是________．10 [令x ＝1得2n ＝32，∴n ＝5． ∵T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ·? ????1x 3r＝C r 5·x 10－5r ， ∴由10－5r ＝0即r ＝2可得展開式中的常數(shù)項是C 25＝10．]7．如圖，在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角形中，第________行中從左至右第14個與第15個數(shù)的比為2∶3．34 [由已知C 13n C 14n＝23，即n ！(n －13)！·13！ × (n －14)！·14！n ！＝23，化簡得14n －13＝23．解得n ＝34．] 8．將函數(shù)f (x )＝x 5表示為f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5為實數(shù)，則a 3＝________．10 [∵f (x )＝x 5＝[(1＋x )－1]5，∴a 3＝C 25(－1)2＝10．]三、解答題9．??????x ＋23x n 展開式第9項與第10項二項式系數(shù)相等，求x 的一次項系數(shù)． [解] ∵? ?????x ＋23x n 的展開式中第9項，第10項的二項式系數(shù)分別為C 8n 、C 9n ． 又∵這兩項的二項式系數(shù)相等．∴C 8n ＝C 9n ，∴n ＝17．其展開式的通項T r ＋1＝C r 17x 17－r 2·2r ·x －r3＝2r C r17x 17－r 2－r 3， 令17－r 2－r3＝1， ∴r ＝9．∴T 10＝29C 917x ＝29×24 310x ＝12 446 720x ，即x 的一次項系數(shù)為12 446 720．10．若(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，求： (1)各項系數(shù)之和；(2)奇數(shù)項系數(shù)的和與偶數(shù)項系數(shù)的和．[解] (1)各項系數(shù)之和即為a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10，可用“賦值法”求解．令x ＝y(tǒng) ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝(2－3)10＝(－1)10＝1．(2)奇數(shù)項系數(shù)的和為a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10，偶數(shù)項系數(shù)的和為a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9．由(1)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，①令x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，②①＋②得，2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510，故奇數(shù)項系數(shù)的和為12(1＋510)； ①－②得，2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510，故偶數(shù)項系數(shù)的和為12(1－510)．11．若(x －2)5－3x 4＝a 0＋a 1(x －3)＋a 2(x －3)2＋a 3(x －3)3＋a 4(x －3)4＋a 5(x －3)5，則a 3＝( )A ．－70B ．28C ．－26D ．40C [令t ＝x －3，則(x －2)5－3x 4＝a 0＋a 1(x －3)＋a 2(x －3)2＋a 3(x －3)3＋a 4(x －3)4＋a 5(x －3)5可化為(t ＋1)5－3(t ＋3)4＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋a 3t 3＋a 4t 4＋a 5t 5，則a 3＝C 25－3×C 14×3＝10－36＝－26．]12．在? ????x ＋2x 2n(n ∈N ＋)的展開式中，若二項式系數(shù)最大的項僅是第六項，則展開式中常數(shù)項是( )A ．180B ．120C ．90D ．45A [在? ????x ＋2x 2n (n ∈N ＋)的展開式中，若二項式系數(shù)最大的項僅是第六項，則n ＝10，則? ????x ＋2x 2n＝? ????x ＋2x 210的展開式的通項為T r ＋1＝C r 10·2r ·x 5－5r 2，令5－5r 2＝0，得r ＝2，可得展開式中常數(shù)項為C 210·22＝180．] 13．(多選題)若將函數(shù)f ()x ＝x 5表示為f ()x ＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x ) 2＋…＋a 5(1＋x ) 5， 其中a 0，a 1，a 2，…，a 5為實數(shù)，則( )A ．a(chǎn) 0＝－1B ．a(chǎn) 3＝10C ．∑i ＝15a i ＝1D ．∑i ＝15(－1) i a i ＝－31ABCD [由已知得(x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝0得，a 0＝－1； 又a 0＋∑i ＝15a i ＝(1－1)5＝0，a 0＋∑i ＝15(－1) i a i ＝(－1－1) 5＝－32，。

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