函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A>0、ω>0）的圖象教學(xué)設(shè)計

一、教材分析
   本節(jié)課所講的內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)必修4第一章《三角函數(shù)》第五節(jié)的內(nèi)容，三角函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，它是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。三角函數(shù)作為描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，與其他學(xué)科（特別是物理學(xué)、天文學(xué)）聯(lián)系緊密。它的基礎(chǔ)是幾何中的相似形和圓，研究方法主要是代數(shù)中的式子變形和圖形分析，因此三角函數(shù)的研究已經(jīng)初步把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來了。高等數(shù)學(xué)以及其他應(yīng)用技術(shù)學(xué)科，都要經(jīng)常用到三角函數(shù)及其性質(zhì)，因此這些內(nèi)容既是解決生產(chǎn)實際問題的工具，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)等學(xué)科的基礎(chǔ)。本章第四節(jié)“三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)”的內(nèi)容中，教材通過正余弦曲線的形狀特點的研究得到了正余弦函數(shù)的性質(zhì)，本節(jié)將通過探究A對 y=Asinx圖象的影響、ω對 y=sinωx圖象的影響、φ對y=sin(x+φ)圖象的影響進一步得出函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象，由此揭示這類函數(shù)的圖象和正弦函數(shù)曲線的關(guān)系以及A、ω、φ的物理意義，使學(xué)生根據(jù)A、ω、φ的意義，通過圖象變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的圖象，從而進一步掌握正余弦函數(shù)的性質(zhì)。通過y=sinx的圖像變換得到函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象這一思維過程并不表示實際畫圖方法，但充分體現(xiàn)了由簡單到復(fù)雜、特殊到一般的化歸的數(shù)學(xué)思想，所以本節(jié)承載著三角函數(shù)這一章中的重要作用。三角函數(shù)中許多化簡、求值題以及研究函數(shù)性質(zhì)的問題都涉及到Asin(ωx+φ) 的形式，研究它的圖象能使學(xué)生將已有的知識形成體系，有助于培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題。同時，本節(jié)課在教學(xué)中通過多媒體課件力圖向?qū)W生展示整個變換過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、類比、聯(lián)想等數(shù)學(xué)思維能力。
二、學(xué)情分析
學(xué)生通過學(xué)習(xí)本章第八節(jié)“三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)”，已掌握正余弦曲線的形狀特點和正余弦函數(shù)的性質(zhì)。而本節(jié)將進一步學(xué)習(xí)A對 y=Asinx圖象的影響、ω對 y=sinωx圖象的影響、φ對y=sin(x+φ)圖象的影響，從而得出函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象，由此揭示這類函數(shù)的圖象和正弦函數(shù)曲線的關(guān)系以及A、ω、φ的物理意義，使學(xué)生根據(jù)A、ω、φ的意義，通過圖象變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的圖象，從而進一步掌握正余弦函數(shù)的性質(zhì)。圖像復(fù)雜，但相互之間又有聯(lián)系，應(yīng)用多媒體手段演示圖像動態(tài)變化過程，是學(xué)生獲得直觀認識。整個教學(xué)過程貫穿自主探究式教學(xué)方法，使學(xué)生由易到難，主動參與知識的發(fā)生、發(fā)展過程，同時探究的過程中也激發(fā)學(xué)生的好奇心和創(chuàng)新意識。
三、教學(xué)目標分析
根據(jù)《新課改標準》關(guān)于本節(jié)課的教學(xué)要求，以貫穿創(chuàng)新意識和實踐能力的培養(yǎng)為宗旨，以教材的特點和所教學(xué)生的實際為出發(fā)點，設(shè)定教學(xué)目標如下：
1. 知識與技能：
①掌握運用五點法畫y=Asin(ωx+φ)圖象以及φ、ω、Α的變化對函數(shù)圖象的形狀及位置的影響;
    ②進一步研究由φ變換、ω變換、Α變換構(gòu)成的綜合變換。

③ 結(jié)合具體事例，了解y=Asin(ωx+φ的實際意義

2. 過程與方法：

①應(yīng)用多媒體課件直觀展示函數(shù)圖象動態(tài)變化過程，進行數(shù)形結(jié)合思想的滲透；使學(xué)生直觀的獲得φ、ω、Α的變化對函數(shù)圖象的形狀及位置的影響;
    ②通過自主探究，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力、實踐能力和分析問題、解決問題的能力，歸納總結(jié)能力、邏輯思維能力。
     3. 情感態(tài)度與價值觀：

①多媒體課件的使用激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

②領(lǐng)會“由簡單到復(fù)雜、由特殊到一般”的化歸思想和辯證思想; 學(xué)習(xí)如何將一個復(fù)雜問題分解為若干簡單問題的方法。

四、教學(xué)重點、難點

1. 重點：

參數(shù)Α、ω、φ對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換的影響。

2. 難點：

①圖象變換與函數(shù)解析式變換的內(nèi)在聯(lián)系。

②Α、ω、φ對y=Asin(ωx+φ)圖象的影響。

五、 教學(xué)方法與策略

自主探究，多媒體課件動態(tài)演示圖像變換過程，啟發(fā)學(xué)生思維。

六、課前準備

1. 教具準備：電腦、投影儀。

2. 媒體準備：PPT課件，flash課件

七、教學(xué)流程圖

探究y=Asinx的圖象與y=sinx圖象的關(guān)系，A的作用

探究y=sin(x+φ)的圖象與y=sinx圖象的關(guān)系，φ的作用

探究y=sinωx的圖象與y=sinx圖象的關(guān)系，ω的作用

簡諧運動的振幅、周期、頻率、相位、初相與y=Asin(ωx+φ)中Α、ω、φ的關(guān)系

函數(shù)y=sinx圖像變?yōu)楹瘮?shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像的變換方法

八 、教學(xué)過程設(shè)計 

教學(xué)

內(nèi)容

教師活動

學(xué)生活動

設(shè)計意圖

課的引入

教師講授：在物理中,簡諧運動中單擺對平衡位置的位移y與時間x的關(guān)系、交流電的電流y與時間x的關(guān)系等都是形如y=Asin(ωx+φ) 的函數(shù)（其中A, ω, φ都是常數(shù)），結(jié)論：從解析式來看，函數(shù)y=sinx就是y=Asin(ωx+φ)在A=1，ω=1，φ=0時的情況

啟發(fā)學(xué)生思考：如何畫函數(shù)y=Asin(ωx+φ)（A、ω、φ是常數(shù)）的圖象？Α、ω、φ又分別對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象有哪些影響

激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣．讓學(xué)生明確理論是從實踐中來，又回到實踐中去，使學(xué)生學(xué)習(xí)研究目的性更加明確。

探究1：探究y=Asinx的圖象與y=sinx圖象的關(guān)系，A的作用

先用課件展示運用五點法畫出y＝sin x、y＝2sinx、 y＝1/2sinx的圖象的過程，強調(diào)這五個點應(yīng)該是使函數(shù)取最大值、最小值以及曲線與X軸相交的點；然后引導(dǎo)學(xué)生思考問題??；最后當與學(xué)生一起討論并歸納出函數(shù) y=sinx圖像是變換到y(tǒng)=Asinx（A>0）圖像的變換規(guī)律時，老師再次用計算機展示幾個函數(shù)圖象的動態(tài)變換過程，驗證結(jié)論是否正確?！?

觀察圖像思考問題1：如何由函數(shù)y＝sin x的圖象通過變換得到函數(shù)y＝2sinx、 y＝1/2sinx的圖象？問題2：函數(shù) y=sinx圖像是怎樣變換到y(tǒng)=Asinx（A>0）圖像的？

引導(dǎo)學(xué)生思考研究問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、觀察和解決問題的能力，

探究2：探究y=sinωx的圖象與y=sinx圖象的關(guān)系，ω的作用

學(xué)生在此問題中，認為簡單，其實很容易出錯，并且在探究錯因時，難于理解．因此引導(dǎo)學(xué)生先猜結(jié)果，老師再用多媒體展示幾個函數(shù)的動態(tài)變換過程，驗證結(jié)論是否正確。最后統(tǒng)一看法，得出結(jié)論．分析一般規(guī)律時，引導(dǎo)學(xué)生著眼于x的變化，把 ωx+φ 變形為ω( )，因此，從y＝sin ωx到 y＝sin(ωx+φ)的變換過程就是把x變成了（x+φ/ω） ，這就是解決問題的關(guān)鍵點． 

自主探究用五點法畫出函數(shù)y＝sinx、y=sin2x、y=sin1/2x的圖像，自主探討三個函數(shù)y＝sinx、y=sin2x、y=sin1/2x的圖像間的變換關(guān)系學(xué)生一起討論歸納總結(jié)得出函數(shù) y=sinx圖像是變換到y(tǒng)=sinωx（ω>0）圖像的變換規(guī)律。

獨立探索合作交流培養(yǎng)學(xué)生的合作意識和自主探究能力。

探究3：探究y=sin(x+φ)的圖象與y=sinx圖象的關(guān)系，φ的作用

教師首先用多媒體展示y＝sinx、y=sin（x+π/3）y=sin（x-π/4）三個函數(shù)的動態(tài)變換過程，并讓學(xué)生猜想出函數(shù) y=sinx圖像是變換到y(tǒng)=sin(x+φ)的圖像的變換規(guī)律，其次引導(dǎo)學(xué)生通過運用五點法作出三個函數(shù)圖象，驗證結(jié)論是否正確。

學(xué)生通過觀察y＝sinx、y=sin（x+π/3）y=sin（x-π/4）的圖像的動態(tài)變換過程，猜想：函數(shù) y=sinx圖像是變換到y(tǒng)=sin(x+φ)的圖像的變換規(guī)律。再用五點法畫出三個函數(shù)圖象，驗證結(jié)論是否正確。學(xué)生小組討論歸納總結(jié)得出函數(shù) y=sinx圖像是變換到y(tǒng)=sin(x+φ)的圖像的變換規(guī)律。

讓學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗獨立研究φ對函數(shù)y=sin(x+φ)的圖象的影響，進一步熟悉研究方法，領(lǐng)會由簡單到復(fù)雜、特殊到一般的化歸思想。

探究4：探究

y=sinx圖像變?yōu)楹瘮?shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像的變換方法

作出函數(shù)y=3sin( 2x+π/3 )的圖象，并指出它的圖象與y=sinx的關(guān)系。
利用課件演示演示圖象的伸縮、左、右平移變化過程，通過觀察、分析從而揭示規(guī)律。

學(xué)生觀察演示圖象的伸縮、左、右平移、分析，從特殊到一般，從具體到抽象，再次總結(jié)回顧y=Asinx、y=sinωx、y=sin(x+φ)與y=sinx的圖象之間的聯(lián)系。

例題的完成過程進一步指導(dǎo)學(xué)生運用五點法作圖時如何選取五點。教師用五點法作出函數(shù)圖象變換過程，引導(dǎo)學(xué)生觀察變化過程中的不變量得出結(jié)論. 給學(xué)生搭建起一個動手探究、實踐的平臺．激發(fā)他們強烈的好奇心和求知欲

探究5：探究

y=Asin(ωx+φ)的實際意義

講解物理簡諧運動中振幅、周期、頻率、相位、初相與Α、ω、φ之間的關(guān)系

學(xué)生回顧相關(guān)的物理知識，解釋振幅、周期、頻率、相位、初相等概念

建立與物理知識的聯(lián)系，了解常數(shù)Α、ω、φ與簡諧運動的某些物理量的關(guān)系，回應(yīng)課的引入

鞏固應(yīng)用

教師查看學(xué)生練習(xí)情況

學(xué)生做課后練習(xí)題第1題的①②③;口答第2題的①③

鞏固用“五點法”作y=Asin(ωx+φ)的圖像

課堂小結(jié)

引導(dǎo)學(xué)生反思學(xué)習(xí)過程，概括出函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像的變換規(guī)律

1、學(xué)生思考、討論、總結(jié)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像的變換規(guī)律。2、填寫課本上由y=sinx的圖象變?yōu)閥=Asin(ωx+φ)的圖象步驟

培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)能力和發(fā)散性思維能力

布置作業(yè)

根據(jù)學(xué)生的不同層次分為必做和選做,由學(xué)生自主選擇。

學(xué)生自主完成作業(yè)

進一步理解掌握本節(jié)課知識

九、教學(xué)反思：

本節(jié)課采用多媒體教學(xué)動態(tài)展示函數(shù)圖像變換過程，讓三個參數(shù)“動起來”，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，融入數(shù)形結(jié)合思想，使學(xué)生更好地掌握函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像的變換規(guī)律，成功突破難點；同時學(xué)生自主探究，小組合作、討論、歸納總結(jié)，整個教學(xué)過程老師教得輕松，學(xué)生學(xué)得快樂。但本節(jié)課函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖像變換途徑不唯一，還需提出尋找不同變換途徑的方法，由于時間關(guān)系，這個問題需在查漏補缺時完成。

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